В геометрии существует важная теорема, связывающая площади квадратов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника. Эта теорема известна как теорема Пифагора.
Содержание
В геометрии существует важная теорема, связывающая площади квадратов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника. Эта теорема известна как теорема Пифагора.
Формулировка теоремы
В прямоугольном треугольнике сумма площадей квадратов, построенных на катетах, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе:
a² + b² = c²
Геометрическое доказательство
- Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C
- Построим квадраты на каждой стороне: ACDE на катете AC, BCFG на катете BC, ABHJ на гипотенузе AB
- Проведем высоту CH к гипотенузе, продолжая её до пересечения со стороной HJ квадрата ABHJ
- Разделим большой квадрат ABHJ на прямоугольники, равновеликие квадратам на катетах
- Получим равенство площадей: площадь ACDE + площадь BCFG = площадь ABHJ
Алгебраическое доказательство
| Шаг | Действие |
| 1 | Рассмотрим 4 одинаковых прямоугольных треугольника с катетами a, b и гипотенузой c |
| 2 | Составим из них квадрат со стороной (a+b) |
| 3 | Площадь большого квадрата: (a+b)² = a² + 2ab + b² |
| 4 | Площадь четырех треугольников: 4*(ab/2) = 2ab |
| 5 | Площадь внутреннего квадрата: c² = (a² + 2ab + b²) - 2ab = a² + b² |
Пример расчета
- Для треугольника с катетами 3 и 4:
- Площадь квадрата на катете 3: 9
- Площадь квадрата на катете 4: 16
- Сумма: 9 + 16 = 25
- Площадь квадрата на гипотенузе 5: 25
Применение теоремы
Теорема о сумме площадей квадратов находит применение в:
- Архитектуре и строительстве
- Геодезических измерениях
- Компьютерной графике
- Физических расчетах
- Навигационных системах
